0x01 摘要
每次碰到RSA题都是一脸蒙逼，这次专门来撸一撸RSA加密算法。
0x02 前言
CTF里考RSA算法是比较常见的。可惜每次碰到都一脸蒙逼，最心酸的是Writeup就摆在那里，不离不弃，而我的智商摆在那里，不高不低。
0x03 理解RSA
最重要一步，当然是理解RSA算法，理解了，就什么都不难了。
1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。
这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
举例子的时候一般出现的人物都是Bob和Alice。
比如有两个用户Alice和Bob，Alice想把一段明文通过双钥加密的技术发送给Bob，Bob有一对公钥和私钥，那么加密解密的过程如下：
Bob将他的公开密钥传送给Alice。
Alice用Bob的公开密钥加密她的消息，然后传送给Bob。
Bob用他的私人密钥解密Alice的消息。
上面的过程可以用下图表示，Bob先生成公钥和私钥，Alice使用Bob的公钥进行加密，Bob用自己的私钥进行解密。
总结：
公钥和私钥是成对的，它们互相解密。
公钥加密，私钥解密。
私钥数字签名，公钥验证。
0x03.1.1 数学概念
要看算法了，还是先温习一下基本的概念吧，哈哈，忘的人可以看看，大神可以跳过。
0x03.1.1.1 互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
1.任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2.一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3.如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4.1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5.p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6.p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
0x03.1.1.2 欧拉函数
欧拉函数求的是什么呢？
即：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
其中，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
常用的运算过程有：
φ(n)= φ(p×q)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
欧拉公式：
例子：
1323的欧拉函数就是756。
0x03.1.1.3 欧拉定理
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n) 可以让下面的等式成立：
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。
比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
0x03.1.1.4 费马小定理
假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成：
0x03.1.1.5 模反元素
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
这时，b就叫做a的"模反元素"。
而我们的RSA中，e和b就互为模反元素。
0x03.1.2 算法
RSA算法涉及三个参数，n，e，d，私钥为（n，d），公钥为（n，e）。
其中n是两个大素数p，q的乘积。
d是e的模反元素，φ(n)是n的欧拉函数。
c为密文，m为明文，则加密过程如下：
解密过程如下：
n，e是公开的情况下，想要知道d的值，必须要将n分解计算出n的欧拉函数值，而n是两个大素数p，q的乘积，将其分解是困难的。
上面的内容可以用一个图表示：
0x03.1.3 举例
看一遍运算过程，知道怎么用是最快的学习方法哈哈。假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B。
0x03.1.3.1 设计公私钥（n，e），（n，d）
1）p、q、n
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；（质数p和q越大越难破解，n转成二进制后的长度就是密钥长度）
2）φ(n)
φ(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；
3）e和d
选一个1到φ(n)之间的质数，这里取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 (modφ(n))，即3×d≡1(mod 20）。令x=d，20的倍数为-y，则3x-20y=1。求解得：x=7，y=1。
因此，当d=7时，e×d≡1 modφ(n)同余等式成立。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU=(n,e)=(33,3)，解密密钥（私钥）为：KR=(n,d)=(33,7)。
0x03.1.3.2 英文数字化
将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：
则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
0x03.1.3.3 明文加密
用户加密密钥(33,3) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。
0x03.1.3.4 密文解密
用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：
用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。
0x04 问题与思考
0x04.1 问题1：已经公钥（n，e），如何破解私钥（n，d）？
e*d≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
0x04.2 问题2：为什么n越大，就越难破解？
n的长度就是密钥长度。如3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
0x04.3 问题3：为什么用n加密的明文长度要小于n，如果长度大于n如何加密？
根据互质关系第三条，如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
所以只要m<n，因为n为质数，m与n互质。
如果m>n，则将m分解成位数小于n的分组进行加密，解密后再组合起来。
0x05 CTF
下面列举了个CTF题，做着做着就会啦。目前只列举一道，当然还有其它很多攻击方法，像维纳攻击、广播攻击等等，就不班门弄斧了，进一步了解和学习可以看参考文章哈哈。
0x05.1 RSA Roll
例题来自【https://www.52pojie.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=490769】
题目：
解答：
从上面可以看出，给出的是（n，e）=（920139713，19）和分组的密文。而这里的n明显不大，因此是可以破解的。
在线因数分解：【http://factordb.com/index.php?query=920139713】得到p=18443，q=49891
欧拉函数：φ(n) = (p-1)(q-1)=(49891-1)*(18443-1)=920071380
由此e=19, φ(n)= 920071380，e*d=1(modφ(n))即920071380x + 19y = 1
求解d：
得d=96849619，即（n，d）=（920139713，96849619），可以解那些密文了。
用【BigInt】求解：
如密文【704796792】
可以知道102的ascii码对应的是f，因此明文为f。其它的可以依次求解出来。
0x06 参考
RSA算法原理：
https://www.kancloud.cn/kancloud/rsa_algorithm/48484
欧拉函数：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
CTF中RSA的常见攻击方法：
http://bobao.360.cn/learning/detail/3058.html
CTFCrypto练习之RSA算法：
http://blog.csdn.net/qq_18661257/article/details/54563017
因数分解：
用实例给新手讲解RSA加密算法：
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